Analyse av fangenes dilemma

Her er en video som forklarer de grunnleggende aspektene ved fangenes dilemma:

Analysen av et fangenes dilemma-spill begynner med at man ser på hvilke valg en spiller har. La oss først begynne med spiller $i$, som har valget mellom strategien $\tau^1$ (som innebærer å tie) og $\tau^2$ (som innebærer å tyste). Siden dette er et strategisk spill er det nødvendig å vurdere egen strategi ut fra hvordan ens med-/motspillere handler, så vi må se hva konsekvensene av de forskjellige strategikombinasjonene vil være. Først ser vi at dersom spiller $j$ velger strategi $\tau^1_j$, få spiller $i$ en gevinst på 3 dersom han velger strategi $\tau^1$, og en gevinst på 4 dersom han velger strategi $\tau^2_i$. Spiller $i$ vil med andre ord få det han anser som det nest beste utfallet (en gevinst på 3) dersom begge spillerne tier ($(\tau^{1}_i,\tau^{1}_j)$). Dersom $j$ tier og $i$ tyster derimot, får spiller $i$ den høyeste gevinsten han kan oppnå (4). Dette innebærer at spiller $i$ vil foretrekke strategi $\tau^2$ – å tyste – dersom $j$ tier. Dette markerer vi ved å sette en ring rundt den gevinsten i kolonne én spiller $i$ foretrekker, Deretter ser vi hva $i$ foretrekker dersom $j$ anvender strategi $\tau^2_j$. Ved å tie får $i$ her den laveste gevinsten i spillet (1). Dersom $i$ også tyster vil han derimot få en noe bedre gevinst (2). I kolonne to setter vi dermed en ring rundt gevinst 2 for $i$, i rute $(\tau^{2}_i,\tau^{2}_j)$. Dette gir oss figuren til venstre nedenfor. Siden dette er et symmetrisk spill, dvs. identisk for begge spillere, må vi nå gjennomføre akkurat samme prosedyre for spiller $j$. Hva ønsker $j$ å gjøre dersom $i$ velger $\tau^1_i$? Og dersom $i$ velger $\tau^2_i$? I figuren til høyre har jeg gjennomført samme prosedyre for $j$, og vi er nå klare til å analysere hvordan utfallet av spillet kan tenkes å bli.

Løsningen på fangenes dilemma

Før vi analyserer løsningen av fangenes dilemma er det nyttig å introdusere tre nye begreper:

• En dominant strategi er en strategi som er den beste for en spiller uansett hvilken strategi motspilleren velger. En slik strategi finnes som vi skal se i fangenes dilemma.
• Et utfall som er pareto-optimalt (PO) innebærer at ingen av spillerne kan oppnå en høyere gevinst uten at en annen får en lavere gevinst.
• I spillteorien snakker man om en Nash-likevekt (heretter kun likevekt (L) dersom et utfall er stabilt i den forstand at ingen spillere alene kan endre strategi for å få et bedre utfall).

Vi ser her at strategi $\tau^2$ (å tyste) er best for spiller $i$, uansett hva spiller $j$ velger. Det samme gjelder som vi har sett for spiller $j$, da han også foretrekker å tyste, uansett hvilken strategi $i$ velger. Begge spillerne har altså en dominant strategi, og i et spill av denne typen medfører det at utfallet der begge spillere velger denne strategien – $(\tau^{2}_i,\tau^{2}_j)$ – realiseres. Begge spillerne tyster, og får dermed begge en gevinst på 2. Er så dette en likevekt? For å vurdere kan vi ta utgangspunkt i utfallet vi ønsker å analysere, som her er $(\tau^{2}_i,\tau^{2}_j)$. Vi må så se hvorvidt en spiller kan tjene på å endre sin strategi mens den andre spilleren holder fast på sitt valg. Dersom vi nå ser fra spiller $i$‘s perspektiv, kan han forsøke å endre sin strategi til $\tau^1$. Dette ville antageligvis bli møtt med stor entusiasme fra spiller $j$, da utfall $(\tau^{1}_i,\tau^{2}_j)$ gir $j$ den høyeste gevinsten (4), mens $i$‘s gevinst reduseres til 1. Det lønner seg altså ikke for $i$ å endre strategi, og det samme gjelder for spiller $j$, siden spillet er symmetrisk. Hva innebærer så alt dette? At utfallet som realiseres er en likevekt – et stabilt utfall. Vi har nå funnet «løsningen» på spillet, men ønsker også å se på hva denne løsningen innebærer. Pareto-optimalitet er en egenskap ved et utfall man ofte søker, da dette innebærer at det ikke finnes andre utfall som er bedre for begge spillerne. Har vi funnet en pareto-optimal løsning på fangenes dilemma? Vi kan først vurdere utfallene der én spiller endrer sin strategi, dvs. utfall $(\tau^{1}_i,\tau^{2}_j)$ og $(\tau^{2}_i,\tau^{1}_j)$. Disse utfallene er ikke pareto-forbedringer fra $(\tau^{2}_i,\tau^{2}_j)$, da en av spillerne lider et tap i form av redusert gevinst. Det hjelper ikke at total gevinst øker fra 4 til 5; ved pareto-forbedringer er det alltid et krav om at ingen spillere taper på endringen. Hva så med utfall $(\tau^{1}_i,\tau^{1}_j)$? En forflytning fra utfall $(\tau^{2},\tau^{2})$ til $(\tau^{1}_i,\tau^{1}_j)$ fører til en forbedring for begge spillerne, og er derfor en pareto-forbedring fra $(\tau^{2}_i,\tau^{2}_j)$. Dette medfører at løsningen på fangenes dilemma ikke er pareto-optimal. Kan man derfor løse «dilemmaet» heller velge $(\tau^{1}_i,\tau^{1}_j)$ som løsning? Nei, fordi den pareto-optimale løsningen er ikke en likevekt. Gitt spillereglene for fangenes dilemma må man derfor anta at spillerne ikke vil realisere et utfall der hver spiller kan skaffe seg en forbedring ved å bytte strategi. Dette er grunnen til at spillet betegnes som et dilemma: individuell rasjonalitet fører til et kollektivt suboptimalt utfall!

Mange innvendinger kan fremmes mot denne løsningen av fangenes dilemma, men det er en del forutsetninger som legges til grunn for dette spillet, som gjør løsningen mer plausibel enn den kan synes. For det første er det simultane trekk, så ingen spiller kan vente å se hva den andre gjør før han velger sin strategi. Dette er også et konkurranse-spill, som innebærer at spillerne ikke har noen kommunikasjonsmuligheter; de kan altså ikke avtale å velge $\tau^2$ selv om de selv skulle forstå at dette ville være bedre enn at begge velger $\tau^1$. Slike spill kan også fremstilles med kommunikasjonsmuligheter, men uten muligheter for å håndheve avtaler. Slike spill tolkes på samme måte, da man antar at spillere i en slik situasjon ville bryte avtaler dersom de ble inngått. Grunnen til at man forestiller seg slike «kyniske» spillere er at man også forutsetter rasjonelle aktører som optimaliserer en gitt nyttefunksjon. Dersom denne nyttefunksjonen gis som en økende funksjon av egen gevinsten – og kun dette – er antagelsen om at avtaler brytes riktig ettersom spillets regler og spillernes preferanser ikke gir nytte for å oppføre seg «realt» f.eks. Videre er alle utenforliggende forhold ekskludert fra spillet, slik at spillerne ikke kjenner hverandre, ikke kan antas å møte hverandre senere e.l. betraktninger som kunne ført til et annet utfall. Det problematiseres heller ikke at det «beste» utfallet innebærer at spillerne lyver. Disse forutsetningene vil omtales mer inngående etterhvert som «Innføring i spillteori» utvides.

Chicken er et annet sentralt spill du kan lese om her!